Biến số
Đại số sơ cấp xây dựng và mở rộng số học[12] bằng cách giới thiệu các chữ cái được gọi là biến số để thể hiện những số chung (không xác định). Điều này đem lại một vài lợi ích:
- Biến số đại diện cho những số chưa biết giá trị. Ví dụ, nếu nhiệt độ ngày hôm nay, T, là 20 độ cao hơn nhiệt độ ngày hôm qua, Y, thì bài toán có thể được biểu diễn dưới dạng toán học là T = Y + 20 {\displaystyle T=Y+20} .[13]
- Biến số cho phép ta biểu diễn những bài toán chung,[14] mà không cần phải cụ thể hóa giá trị của những con số có liên quan.Ví dụ, người ta có thể nêu cụ thể 5 phút bằng với 60 × 5 = 300 {\displaystyle 60\times 5=300} giây. Một cách mô tả chung hơn bằng đại số có thể miêu tả số giây, s = 60 × m {\displaystyle s=60\times m} , trong đó m là số phút.
- Biến số cho phép miêu tả những mối quan hệ toán học giữa những con số có thể dao động.[15] Ví dụ, mối quan hệ giữa chu vi, c, và đường kính, d, của một đường tròn có thể được biểu diễn là π = c / d {\displaystyle \pi =c/d} .
- Biến số cho phép mô tả một vài tính chất của toán học. Ví dụ, một tính chất cơ bản của phép cộng là tính giao hoán, trong đó nêu rõ rằng trật tự của các số được cộng không quan trọng. Tính giao hoán có thể được thể hiện dưới dạng đại số là ( a + b ) = ( b + a ) {\displaystyle (a+b)=(b+a)} .[16]
Đánh giá biểu thức
Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn, dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số học (cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa). Ví dụ,
- Các số hạng cộng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng hệ số. Ví dụ, x + x + x {\displaystyle x+x+x} có thể được rút gọn thành 3 x {\displaystyle 3x} (trong đó 3 là hệ số)
- Các số hạng nhân có thể được rút gọn bằng cách sử dụng số mũ. Ví dụ, x × x × x {\displaystyle x\times x\times x} có thể được biểu diễn là x 3 {\displaystyle x^{3}}
- Cũng giống như các số hạng được cộng với nhau,[17] ví dụ, 2 x 2 + 3 a b − x 2 + a b {\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab} được viết thành x 2 + 4 a b {\displaystyle x^{2}+4ab} , bởi các số hạng x 2 {\displaystyle x^{2}} được cộng lại với nhau, các số hạng a b {\displaystyle ab} cũng được cộng lại với nhau.
- Các số trong ngặc có thể được nhân với số bên ngoài bằng cách sử dụng tính phân phối. Ví dụ, x ( 2 x + 3 ) {\displaystyle x(2x+3)} có thể được viết thành ( x × 2 x ) + ( x × 3 ) {\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)} , và có thể được viết thành 2 x 2 + 3 x {\displaystyle 2x^{2}+3x}
- Các biểu thức có thể đưa các nhân tử ra ngoài. Ví dụ, 6 x 5 + 3 x 2 {\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}} , chia cả hai số hạng với 3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}} ta có thể viết thành 3 x 2 ( 2 x 3 + 1 ) {\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}
Phương trình
Hình động mô tả
Định lý Pythago đối với tam giác vuông, trong đó thể hiện mối quan hệ đại số giữa cạnh huyền, và hai cạnh còn lại của một tam giác.
Một phương trình mô tả hai biểu thức là bằng nhau bằng cách sử dụng biểu tượng của đẳng thức, = {\displaystyle =} (dấu bằng).[18] Một trong những phương trình nổi tiếng nhất mô tả định luật Pytago liên quan đến chiều dài các cạnh của một tam giác vuông.[19]
c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
Phương trình này thể hiện rằng c 2 {\displaystyle c^{2}} , đại diện cho bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), bằng tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh còn lại, được đại diện bằng các chữ cái a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b}
Phương trình là một sự xác nhận rằng hai biểu thức có cùng giá trị và bằng nhau. Một vài phương trình đúng với tất cả các giá trị của các biến số liên quan (ví dụ a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} ); những phương trình như vậy được gọi là đồng nhất thức. Những phương trình điều kiện đúng với một số giá trị của các biến số liên quan (ví dụ x 2 − 1 = 8 {\displaystyle x^{2}-1=8} chỉ đúng khi x = 3 {\displaystyle x=3} hoặc x = − 3 {\displaystyle x=-3} ). Những giá trị của các biến làm cho phương trình đó đúng chính là nghiệm của phương trình và có thể tìm thấy thông qua giải phương trình.
Một dạng phương trình khác gọi là bất đẳng thức. Các bất đẳng thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của phương trình lớn, hoặc nhỏ hơn, vế còn lại. Các biểu tượng được sử dụng cho bất đẳng thức là: a > b {\displaystyle a>b} , trong đó > {\displaystyle >} có nghĩa là 'lớn hơn', và a < b {\displaystyle a<b} trong đó < {\displaystyle <} có nghĩa là 'nhỏ hơn'. Cũng giống như phương trình đẳng thức tiêu chuẩn, các số của bất đẳng thức có thể được cộng, trừ, nhân, chia. Trường hợp ngoại lệ duy nhất là khi nhân và chia với một số âm, dấu bất đẳng thức phải được đổi ngược lại.
Tính chất của đẳng thức
Theo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo một số "quan hệ tương đương", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ b = b {\displaystyle b=b} ), đối xứng (ví dụ nếu a = b {\displaystyle a=b} thì b = a {\displaystyle b=a} ), và bắc cầu (ví dụ nếu a = b {\displaystyle a=b} và b = c {\displaystyle b=c} thì a = c {\displaystyle a=c} )[20] trong đó:
- Nếu a = b {\displaystyle a=b} và c = d {\displaystyle c=d} thì a + c = b + d {\displaystyle a+c=b+d} và a c = b d {\displaystyle ac=bd} ;
- Nếu a = b {\displaystyle a=b} thì a + c = b + c {\displaystyle a+c=b+c} ;
- Nêu hai ký hiệu là bằng nhau thì một bên có thể thay thế cho bên còn lại
Tính chất của bất đẳng thức
Mối quan hệ 'nhỏ hơn' < {\displaystyle <} và 'lớn hơn' > {\displaystyle >} có tính chất bắc cầu:[21]
- Nếu a < b {\displaystyle a<b} và b < c {\displaystyle b<c} thì a < c {\displaystyle a<c} ;
- Nếu a < b {\displaystyle a<b} và c < d {\displaystyle c<d} thì a + c < b + d {\displaystyle a+c<b+d} ;
- Nếu a < b {\displaystyle a<b} và c > 0 {\displaystyle c>0} thì a c < b c {\displaystyle ac<bc} ;
- Nếu a < b {\displaystyle a<b} và c < 0 {\displaystyle c<0} thì b c < a c {\displaystyle bc<ac} .
Chú ý rằng bằng cách nghịch đảo phương trình, chúng ta có thể đảo dấu < {\displaystyle <} và > {\displaystyle >} ,[22], ví dụ
- a < b {\displaystyle a<b} tương đương với b > a {\displaystyle b>a}
